Ülkemizde saatçilik hobisi son dönemlerde büyük bir büyüme göstermiş olsa da özellikle mekanik saatler üzerine Türkçe dilinde bilimsel/mühendislik çalışma çok kısıtlı yapılmış durumda. Dişli çarklar mekaniği, makine elemanları, mekanizma tekniği gibi konulara ait kitapların ve kapsamlı tezlerin içerisinde bir veya birkaç paragraf şeklinde saat komponentleri hakkında bilgiler mevcut ancak bunların da hemen hepsi benzer alanlardaki yabancı kitaplardan çeviri bilgiler. Bunların dışında kadran (gauge) denilen endüstriyel tip saatler için çalışmalar mevcut ancak bu saatler bildiğimiz anlamda zaman tutan mekanizmalar değil fiziksel büyüklük görme amacıyla yapılan kadranlardır. Böyle bir makalenin tüm Türkiye'de bilimseverler tarafından takip edilen mecralar üzerinden yayınlanması ve mekanik bilimi üzerine eğitimi ve tecrübesi olan insanların saat mekanizması hakkında çalışma yapmasını istiyoruz.
1 - Giriş
Bu makale mekanik saatlerin nasıl çalıştığına dair hiç bilgisi olmayan insanlar için anlaşılması güç bir yazı olabilir. Makalenin başında basit bir özet olarak saatlerin çalışma prensibine değinilecektir ancak makaleyi okumak isteyen insanlara öncelikle mekanik saat mekanizmaları hakkında kısa bir araştırmadan sonra bu makaleyi okumaları tavsiye edilir. Bunun dışında bu makale klasik mekanik hesaplarının yoğun olduğu bir makale olacaktır, konu hakkında eğitimi ve tecrübesi olan kişiler tam hedef kitlemizdir.
Mekanik saatler anlatılırken hemen herkesin başvurduğu bir örnek vardır; "Mekanik saatler çek-bırak oyuncak arabalar gibidir" örneği. Çek-bırak şeklinde çalışan oyuncak arabaları çekerken yapılan şey, oyuncağın içindeki torsiyonel yayı gerdirmektir. Gergin halde duran yay, oyuncak serbest bırakılınca aniden nötral pozisyonuna dönmeye çalışır ve bir tork üretir. Üretilen torku da basit dişli-mil mekanizmaları ile tekerleğe iletirseniz çek-bırak oyuncağı üretmiş olursunuz. Mekanik saatlerin çalışma mantığı da bununla prensipte aynıdır, zemberek yayını bir kol aracılığıyla kurarak gerdirirsiniz. Ardından gergin yay boşalarak kadrandaki ibreleri döndüren enerji kaynağı olur. Buraya kadar her şey güzel ancak çok büyük bir sorunumuz var, gergin yayı bu şekilde serbest bırakmak kontrolsüz enerji salınımı anlamına gelir. Bu mekanizmayı saat haline getirebilmek için çok önemli bir başka mekanizma daha eklememiz gerekiyor; Regülatör Mekanizması.
 |
Şekil 1: Sadece zamanı gösteren basit bir kol saati mekanizmasının şeması |
Bu mekanizmada görebileceğimiz gibi asıl enerji kaynağımız olan zemberek yayı (mainspring), dişliler üzerinden saat, dakika ve saniye kollarına dönme hareketini aktarıyor. Ancak saniye çarkının sağ tarafında ona bağlı farklı bir mekanizma daha bulunuyor. Bu ikinci mekanizmanın görevi saniye çarkını dolayısıyla tüm diğer çarkları belirli aralıklarla hareket ettirmek. Mekanik saatlerde gördüğümüz saniye kolunun, bir saniye içinde birden çok durup tekrar hareket etme fenomenine bu mekanizma sebep oluyor. Peki bunu nasıl yapıyor? Eşit aralıklarda salınan bir sarkaç aracılığıyla.
Zamanı ölçmek için antik çağdan beri insanlar biliyor ki periyodik hareket eden bir referansa ihtiyaçları var. Mesela gün ölçümünü güneşin periyodik olarak doğup batması sayesinde yapabiliyorlar. Ay ölçümü için dolunayın yaklaşık 29 günde bir çıktığını biliyorlar. Veyahut daha küçük zaman aralıkları için güneş ve kum saatlerini kullanarak periyodik hareketler yakalamaya çalışmışlardı. Galileo'nun sarkaçlar üzerine çalışmaları sayesinde Huygens ilk defa 1656 yılında periyodik hareket referansını sarkaçtan alan bir saat yapmıştı. [1] Yukarıdaki görselde de aslında bir sarkaç (osilatör) bulunmakta. Dönen bir disk ve ona bağlı torsiyon yayı aracılığıyla periyodu sabit olan git-gel dönme hareketi yapılıyor ve bu osilasyonun her bir frekansında saniye kolu sadece iki kere hareket edecek şekilde ana enerji kaynağı frenleniyor. Mekanizma hakkında çok kolayca onlarca videolu içerik bularak tam çalışma mantığını kafanızda oturtabilirsiniz.
2 - Metod ve Kapsam
Bu makale kapsamında saat mekanizmasının en önemli ve hassas kısmı olan regülatör kısmına dair çalışılacaktır. Mekanizmanın geri kalan kısmı için dinamik ve statik analiz yapmak çok daha basit olacağı için orayı ele almayacağız ancak ileride düşünülen mekanizmanın tamamını tek seferde modelleme çalışması da ayrı zorluklar getirecektir. Bununla birlikte saat mekanizmasının zamanı tutmak dışındaki özelliklerine ait alt mekanizmaları modellemek de mümkün olabilir ancak tüm bunları yapmak bir doktora tezi seviyesine gelebilir. Bu makalenin yayınlanma amacı da zaten konu üzerine çalışabilecek insanları bir araya getirebilme fırsatını doğurmaktır.
Metod olarak öncelikle regülatör mekanizmasına ait statik ve enerji hesaplarını 0 boyutlu olarak yapacağız. Ardından genel hareket denklemi ile modelimizin ürettiği frekans, genlik ve periyot gibi parametrelerini zamana bağlı Runge-Kutta explicit ayrık matematik yöntemini kullanarak çözeceğiz. Çözüm işlemi için Python dilinde bulunan SciPy kütüphanesini kullanacağız. Bunun dışında MSC Adams, MATLAB veya benzeri paket programlar ile çözüme gitmekte mümkündür.
3 - Model Parametrelerinin Belirlenmesi
Modelimizi kurmak için sırasıyla şu parametreleri hesaplayarak başlayacağız; Kıl yayı (hairspring) direngenlik değeri (𝑘), balans çarkının kütlesel atalet momenti (𝐼), sistemin salınım frekansı (𝑓), eşapman dişlisinin maşaya uyguladığı itme değerleri (enerji, tork, kuvvet) ve mesnetlerde oluşan sürtünme kayıpları. Bizim kurduğumuz model haricinde çeşitli farklı yöntemlerle model kurmak mümkün, bunlardan en bilineni Takashi Sasaya tarafından regülatör mekanizmanın hareket denklemini Lagrange Mekaniği üzerinden çıkarttığı Theory of Horology kitabı. [2]
3.1 - Balans Yayı Direngenlik Değeri
Torsiyonel yayların direngenlik değerlerini temel makine elemanları hesaplarıyla yapabiliriz. Denklem 1 cebirsel ifade bize yay sabitini veren denklemdir. [3]
$$k = \frac{E \cdot w \cdot t^3}{12 \cdot L} \qquad (1)$$
Bu denklemde (1) E: malzemenin elastisite veya
young modülü (GPa), w: yayın dikdörtgen kesit
alanının genişliği, t: yay kalınlığı, L: yayın aktif uzunluğu, k
ise yay sabiti (Nm/rad)
3.2 - Balans Çarkının Kütlesel Atalet Momenti
Dairesel kesitlerin kütlesel atalet momenti en genel formuyla denklem 2 ile bulunabilir;$$I = \int r^2 dm \qquad (2)$$
Fakat genellikle saatlerde balans çarkı direksiyon simidine
benzer geometrilerde olduğu için parçalı cebirsel denklemlere indirgenerek
hesap yapılması daha uygun olabilir.
$$I_{kol} = \frac{1}{3} M L^2 \quad \text{ve} \quad I_{halka} = \frac{1}{2} M (R_1^2 + R_2^2) \qquad (3)$$
Soldaki denklem ile kolların, sağdaki denklem ile ise içi
boş silindirlerin kütlesel atalet momentini hesaplayabiliriz. Örneğin aşağıdaki
görselde bulunan gibi bir balans çarkının kütlesi dönme ekseni uçta olan dört
çubuk ve bir adet delikli silindir şeklinde modellenebilir.
 |
| Şekil 2: Bir balans yayı ve çarkına ait görsel |
3.3 - Sistemin Doğal Frekansı ve Periyodunu Bulma
Balans çarkına ve yayına ait statik değerleri bulduktan sonra artık sistemin 0 boyutlu açısal doğal frekansını hesaplayabiliriz. Bilindiği gibi salınım frekansı ve ona bağlı periyot, dönme hareketi yapan sistemler için aşağıdaki gibi denklem 4 ile hesaplanmaktadır; [4]
$$f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{I}} \quad \text{ve} \quad T = 2\pi\sqrt{\frac{I}{k}} \qquad (4)$$
Bu denklemlerde (4) I: çarkın kütlesel atalet momenti, k: balans yayının yay sabiti olmak üzere f: salınım frekansı (Hz), T: salınım periyodu (s).
Bu hesap sonucu periyodik salınım yapmasını beklediğimiz sistemin salınım süresini hesaplayabilmiş oluyoruz. Örnek hesap adımında endüstri standardı olan 3Hz yani 0.333s periyoduna denk gelecek şekilde balans çarkı ve yayını boyutlandıracağız.
3.4 - Balans Mekanizmasında Kaybolan Enerjilerin Hesabı
Mekanizmamızda temelde enerji absorbe eden iki olgu varsayabiliriz. Birincisi mekanizmanın mil-yatak sürtünmesinden kaynaklanan enerji kaybıdır. Enerji kaybını Coulomb Sürtünmesi şeklinde denklem 5 seti ile modellemek mümkün. [5]
$$W = \int \tau d\theta \quad \text{ve} \quad \tau = \mu \cdot F_L \cdot r_p \qquad (5)$$
Sol taraftaki denklem bir torka maruz olarak eksenel dönen mil için açıya bağlı iş denklemidir. Bu denklemde eğer yalnızca sürtünmenin yarattığı torku kullanırsanız sürtünme kaybını iş olarak bulmuş olursunuz. Sürtünme torku ise sağdaki denklemle hesaplanabilir. Sağdaki denklem ise en temel haliyle tork denkleminin sürtünme katsayısı ile çarpımıdır.
Sürtünme torku her zaman hareket yönünün tersine olduğundan dolayı iş denklemi tork ile toplam açısal yolun çarpımına eşit olacaktır yani cebirsel iş denklemine indirgenebilecektir. Bu durumda pivot mesnette oluşan sürtünme kaybı aşağıdaki denklem 6 ile modellenebilir.
$$\Delta E_{pivot} = 4 \cdot \mu \cdot F_L \cdot r_p \cdot \theta_{max} \qquad (6)$$
Bu denklem aslında cebirsel formdaki iş denklemidir. Tork ile toplam açısal mesafenin çarpımından ibaret. Toplam açısal mesafe ise 0 ekseni etrafında salınan bir sarkacın bu eksene göre yaptığı maksimum açının 4 ile çarpımıdır çünkü sarkaçlar bir periyotta 4 kere bu açıya erişir.
Enerji absorbe eden ikinci olgu ise hava sürtünmesidir. Mekanizma saat kasasının içerisinde statik bir hava kütlesi etrafında dönmektedir, bu durumda çok az bile olsa hava sürtünmesine yol açmaktadır. Bu denli mikro boyutlarda çalışan bir sistemin enerji ve kuvvet seviyeleri de SI birimine göre mikro veya mili mertebelerinde olacaktır. Bu sebeple hava sürtünmesini ihmal etmek mekanizma modelimizde büyük sapmalara sebep olabilir. Hava sürtünmesinden kaynaklanan enerji kaybını klasik mekanik çerçevesinde dinamiğin 2. kanunu aracılığıyla sönümlü bir eleman olarak modellemek mümkündür. Sönümlü eleman modeli bilindiği gibi denklem 7 gibidir;
$$\Delta E_{air} = \int_{0}^{T} c \dot{\theta}_{max} \sin^2(\omega t) dt \qquad (7)$$
Burada yapılmış olan hava sürtünmesi sanki sisteme dışarıdan hareket yönünün tersine tork uyguluyormuş gibi modellenmesidir. Bu integrali 0 dan 𝑇 = 2𝜋/𝜔 periyoduna kadar çözersek aşağıdaki denklem 8’i elde etmiş oluruz.
$$\Delta E_{air} = \pi \cdot c \cdot \omega \cdot \theta_{max}^2 \qquad (8)$$
Bu denklemde w: açısal doğal frekans, c katsayısı ise havanın sağladığı sanal bir sürtünme katsayısıdır. Bu katsayıyı çeşitli akışkanlar mekaniği yaklaşımlarıyla hesaplamak veya tablolardan çıkartmak mümkündür ancak deneysel yolla veya CFD hesaplamalarıyla çıkartılmadığı müddetçe hep yaklaşık bir katsayı olarak kalacaktır.
3.5 - Eşapman Tarafından Maşaya Uygulanması Gereken Minimum Enerji ve Tork
Eşapman çarkı tarafından maşaya her bir çevrimde uygulanması gereken enerji, en az sistemde sürtünme kaynaklı kaybolan enerjierin toplamı kadar olmalıdır. Eşapman ile maşa yakutları arasında da bir sürtünme kaybı mevcuttur ancak şu an için bu sürtünmenin modellenmesi osilatör sistemimizin modellenmesi için şart değildir. Saat mekanizmasının geri kalanınında modellenmesi durumunda bu sürtünmede hesaplanarak zemberek yayının doluluk oranı ve saatin çalışma süresi hesabında kullanılabilir. O zaman maşaya uygulanacak enerji ve torku aşağıdaki temel mekanik denklemleri (denklem 9) ile hesaplayabiliriz.
$$E_{impulse} = \frac{\Delta E_{loss}}{2} \quad \text{ve} \quad T_{avg} = \frac{E_{impulse}}{\alpha_{rad}} \qquad (9)$$
Her periyotta maşa ile eşapman iki kere temas ettiği için soldaki denklemde her bir temas için aktarılması gereken enerjiyi bulmuş oluyoruz. Bu enerji değerini ise temasın sürdüğü açı değerine (lift angle) bölerek tork değerini elde edebiliyoruz. Bilindiği gibi tork ile işin birimleri aynı ancak birbirlerine dönüşüm yapılırken iş terimini, birimsiz olarak uygulanan mesafeye (bizim örneğimiz dönme olduğu için radyana) bölmemiz gerekiyor. Burada önemli bir husus daha mevcut o da bulduğumuz tork değerinin ortalama tork olmasıdır. Gerçekte bu tork değeri temas açısının (lift angle) başında ve sonunda sıfır, ortasında ise maksimum olacak şekilde bir Gauss eğrisi çizecektir. Biz bu eğrinin altında kalan alanı lineer paralel çizginin altındaki alan cinsinden hesaplamış oluyoruz. Eğer daha detaylı bir hesap istenirse Gaussian eğri olarak torkun modellenmesi gerekebilir.
Buraya kadar hesaplama yöntemlerini çıkarttığımız parametreler genel hareket denkleminin çözümü ve dinamik parametrelerin validasyonu için yeterli ancak bu parametreler ile çok basit cebirsel formülleri kullanarak bir çok farklı parametre çıkartılabilir. Örneğin balans yayında biriken potansiyel enerji hesaplanmak istenirse: $$U=\frac{1}{2}k\theta_{max}^2$$ denklemi ile, balans yayının ürettiği tork hesaplanmak istenirse 𝑇 = 𝑘θ𝑚𝑎𝑥 denklemiyle, balans çarkının açısal momentumu çarkın açısal frekansı ve kütlesel atalet momentinin çarpımıyla ve eşapmanın uyguladığı itme kuvveti ise itme torkunun pivot noktasına mesafesine bölümüyle kolayca hesaplanabilir.
3.6 - Genel Newton Hareket Denklemi
Homojen olmayan ikinci dereceden, tek serbestlik dereceli ve 1-Boyutlu Newton hareket denklemi ile bu nevi sistemlerin hareketi zamana bağlı olarak çözülebilir. Bahsi geçen denklemin açısal formu mekanik titreşimlerden bilindiği üzere denklem 10 ile verilmiştir. [4]
$$I\ddot{\theta} + c\dot{\theta} + k\theta = \tau_{impulse}(t) - \tau_{loss}(\dot{\theta}) \qquad (10)$$
Bu denklem aslında sistemin içkin kuvvetlerinin sisteme dışarıdan etkiyen kuvvetlerle eşitlenmesine dayanır. Eşitliğin sol tarafında sırasıyla soldan sağa: dinamik kuvvet (𝐼θ̈ ), sönümleme kuvveti (𝑐θ̇ ) ve yay kuvveti (𝑘θ) bulunur. Eşitliğin sağ tarafında itme torku ile kayıp tork vardır ve az önceki parametre hesaplarımızdan aklınıza şu gelecektir, itme torkunu zaten kayıp torka eşitleyerek bulduk. Ancak bu denklemde bu iki torkun anlık etkileri zamana bağlı hesaplandığından aslında tam olarak istediğimiz şeyi bulacağız. İtme torku modele yalnızca lift açısı kadar uygulanırken kayıp tork hareketin olduğu her anda mevcut. Denklemin çözümü sonucu aslında 3. Bölümde hesaplanan parametrelerin gerçekten doğru olup olmadığını da valide etmiş olacağız.
Denklem 10’u Python SciPy kütüphanesi ile Runge-Kutta (RK45) metodu ile explicit olarak çözdüreceğimiz için denklemi birinci dereceye indirgememiz gerekmekte. Bunun için dinamik kuvvet terimini yalnız bırakıp ω = θ̇ dönüşümü yaparsak denklemimiz iki parçadan oluşan birinci derece denkleme dönüşecektir.
$$\frac{d\theta}{dt} = \omega, \quad \frac{d\omega}{dt} = \frac{1}{I}(\tau_{impulse} - c\omega - k\theta - \tau_{loss}) \qquad (11)$$
Denklem 11 setini artık kolayca SciPy kütüphanesi aracılığıyla çözdürebiliriz. Bir boyut ve üzeri sonlu eleman modellemelerde eğer denklemleri explicit olarak çözdüreceksiniz denklemlerin çözümü için kullanılacak zaman adımının bir maksimum değerini hesaplamanız gerekir. Bu zaman adımı Courant sayısını 1 ile eşitleyerek bulabilirsiniz. Biz ise 0 boyutlu lumped bir model kurduğumuzdan dolayı Courant sayısı ile zaman adımını belirleyemiyoruz. Bu nevi sistemlerde maksimum zaman adımı olarak modellenen sistemde tekrarlı davranan en kısa zaman aralıklı olgunun altında bir değer alınması gerekir. Bizim örneğimizde bu değer maşa ile eşapmanın birbrine temas ettiği süredir. Bu hesabı daha sonra lift açısını seçerken 4. bölümde yapacağız.
4 - Örnek Model Kurulumu
Bu adımda sırasıyla parametrelerimizi gerçek değerler üzerinden hesaplayarak örnek bir modele ait parametre setini çıkartacağız. Ardından genel hareket denklemimizi (denklem 11) çözdürerek modelimizin başarımını değerlendireceğiz. En son olarak da imalatı oldukça zorlayıcı olan ve mikromekanik açısından çok kıymetli aşamalarla imal edilebilen balans yayının kalınlığı eğer 1 mikrometre değişseydi saatimiz ne kadar sapardı fenomenini inceleyeceğiz.
Öncelikle hesaplarımızı saatçilikte endüstri standardı olan 3Hz yani 21600vph (vibration per hour) değerine denk getirecek boyutlar seçerek yapacağız. Bunun için biz parametre hesaplarını hızlıca gerçekleştirebilecek bir excel dökümanı hazırladık. Hesapları yapmak isteyen herkese buna benzer bir tool hazırlamasını ve parametreleri hesaplarken girilen değerlerle nasıl değiştiğini gözlemlemesini öneririz.
 |
| Şekil 3: Parametre hesabı için kullanılan excel ilk sayfa |
 |
| Şekil 4: Parametre hesabı için kullanılan excel ikinci sayfa |
4.1 - Balans Çarkı Atalet Momentini Belirleme
Çarkın bir kolunun kütlesini 0,00002kg ve dış halkanın kütlesini 0,00006kg olarak belirliyoruz. Çarkın iç yarıçapını 0,003m ve dış yarıçapını 0,0035m olarak alırsak çarka ait kütlesel atalet momentini kolların ve halkanın atalet momentlerinin toplamı cinsinden hesaplayabiliriz.
$$I = \left(\frac{1}{3} \cdot 0.00002 \cdot 0.003^2 \cdot 3\right) + \left(\frac{1}{2} \cdot 0.00006 \cdot (0.003^2 + 0.0035^2)\right) = 8,175 \times 10^{-10} \text{ kg}\cdot\text{m}^2$$
4.2 - Balans Yayı Direngenlik Değeri Belirleme
Balans yayı için malzememizi S500JR çelik malzeme seçeceğiz. Buna bağlı olarak elastisite modülü 200GPa yani 200 ⋅ 109 Pa olacaktır. Yay genişliğini 0,00015m, yay kalınlığını 0,00003m ve yay uzunluğunu 0,232388m seçtiğimizde;
$$k = \frac{200 \times 10^9 \cdot 0.000150 \cdot 0.000030^3}{12 \cdot 0.232388} = 2,905 \times 10^{-7} \text{ Nm/rad}$$
4.3 - Sistemin Salınım Frekansı ve Periyodunu Belirleme
Bölümün başında da söylediğimiz gibi endüstri standardı olan 3Hz değerini seçtik ve zaten parametrelerimizi ona göre boyutlandırdık. Yay sabiti ve Inertia parametreleri ile hesap yapınca elde edeceğimiz periyot değeri;
$$T = 2\pi \sqrt{\frac{8.175 \times 10^{-10}}{2.905 \times 10^{-7}}} = 0,333 \text{ s}$$
Bulduğumuz bu periyot değeri tam olarak 3Hz frekansa sahip bir osilatörün sahip olacağı periyor değeridir çünkü bilindiği gibi periyot ile frekans arasında T=1/f ilişkisi vardır.
4.4 - Balans Mekanizmasında Kaybolan Enerjilerin Belirlenmesi
Sistemin hep sahip olduğu doğal frekansta çalışabilmesi için sürtünme kaynaklı enerji kayıplarını telafi etmesi gerekmektedir. Bu sebeple ilk önce sürtünme kaynaklı enerji kayıplarını bulacağız. Genel yataklama teorisine göre biz buradaki yatağı yüzey pürüzlüğü çok düşük olan bir cismin üzerinde hidrostatik eksenel kaymalı yatak modeli şeklinde kurgulayabiliriz. Bu durumda oldukça düşük bir sürtünme katsayısı tablolarda karşımıza çıkacaktır. Sürtünme katsayısını 0,1 olarak alabiliriz. Balans çarkının toplam kütlesini zaten hesaplamıştık, bu değeri de 0,00012kg olarak alıyoruz. Çarkın bağlı olduğu milin yarıçapını ortalama mikro çark mil oranları üzerinden 0,00007m olarak alabiliriz. Bu değerleri kendi ön tasarımınıza ait değerlerden seçebilirsiniz.
Bu değerlerin ardından önemli başka bir değeri belirmeye geldi sıra. Balans çarkının osilasyon genliği yani 𝜃𝑚𝑎𝑥 değeri. Mekanizma tasarımı sırasında bu açının ne kadar olacağını tasarlamak mühendislerin insiyatifindedir. Bu açı balans çarkının salınımı sırasında çıkacağı maksimum açıyı belirler. Bu açı ne kadar fazla olursa saatin zaman tutma performansı artacaktır çünkü balans çarkının sahip olduğu momentumu yükseltir. Yüksek momentum demek ise çevresel ve parazitik yük etkilerinden daha az etkilenen bir sistem demektir fakat bunun karşılığında ise sistemin enerji sarfiyatı artacak ve saatin çalışma ömrü kısalacaktır. İzokronizmi oldukça fazla etkileyen bu parametre günümüz mühendisliğinin de imkanları sayesinde iyi tasarlanmış ve üzerinde mühendislik yapılmış mekanizmalarda osilasyon genliği çoğunlukla yüksek seçilirken replika veya ucuz sayılabilecek mekanizmalarda bu genlik genellikle düşük seçilir. Biz 270 derece yani 4,712388975 rad olarak seçeceğiz ki ortalamanın üzerinde bir değerdir bu.
$$\Delta E_{pivot} = 4 \cdot 0.1 \cdot (0.00012 \cdot 9.81) \cdot 0.00007 \cdot 4.712 \approx 1,553 \times 10^{-7} \text{ J}$$
Şimdi de hava sürtünmesinden kaynaklanan enerji kaybını belirleyelim. Burada yalnızca tek bir parametreyi seçeceğiz o da sanal sürtünme katsayısı. Bu değer gerçek sürtünme katsayısı gibi birimsiz bir değer değildir 𝑁𝑚 ⋅ 𝑠/𝑟𝑎𝑑 şeklinde bir birimi vardır ve aslında akışkan içinde dönen cisimlerin maruz kaldığı sönümleme katsayısına denk gelmektedir. Bu parametre için literatürde çok sık rastlanılan Windage Torque hesabı mevcuttur. Aslında aerodinamik sürünme (drag) formülünden modifiye edilmiş dönen diskler veya çarklar için bir çok formül vardır. Herhangi biri ile hesap yapıldığında görülecektir bu değer 𝐸 -11 ile 2𝐸 -11 arasında değer almaktadır. Biz ikisinin ortası olan 1,5𝐸 -11 değerini alacağız. Açısal frekansı sistemin çalışma frekansını(3Hz) 2π ile çarparak 18,84955592 şeklinde bulacağız. Osilasyon genliği ise tekraradan 4,712388975 olarak alınacak.
$$\Delta E_{air} = \pi \cdot (1.5 \times 10^{-11}) \cdot 18.849 \cdot 4.712^2 \approx 1,97 \times 10^{-8} \text{ J}$$
4.5 - Maşaya Uygulanması Gereken Enerji ve Torku Belirleme
Bu aşama artık oldukça basit bir hesaplama adımıdır. Bulduğumuz enerji kayıplarını bölüm 3.5'de anlatıldığı gibi hızlıca formüllerde yerine koyup değerlerimiz bulalım.
$$E_{impulse} = \frac{1.84 \times 10^{-7}}{2} = 9,19 \times 10^{-8} \text{ J} \quad \text{ve} \quad T_{avg} = \frac{9.19 \times 10^{-8}}{0.9075} = 1,01 \times 10^{-7} \text{ Nm}$$
4.6 - Genel Hareket Denklemi ile Sistem Validasyonu
Bölüm 3.6'da detaylıca konuştuğumuz ve denklemi parçaladığımız gibi Python dilini ve SciPy kütüphanesini kullanarak denklem 11’i ve parametreleri girip çözdürüyoruz. Çözüm adımı öncesi explicit çözümler için çok önemli olan maksimum zaman adımını belirlememiz gerekmekte. Frekansı (f) 3Hz olan, 52 derece lift açısı(𝑎) olan ve toplam genliği 270(θ𝑚𝑎𝑥) derece olan bir saat mekanizması için impulse süresini şu denklem ile hesaplayabiliriz.
$$T=\frac{a}{2\cdot f\cdot\theta_{max}}=\frac{52}{2\cdot3\cdot270}\simeq0.03s$$
Bu değer 52 derecelik lift açısının tamamını tek bir zaman adımında hesaplar. Bu da bazı çevrimlerde ve kümülatif hata birikimlerinde zaman adımları geçtikçe çok yüksek sapmalarla hesaplamaya neden olur. Denklemin çözülebilmesi için maximum girilmesi gereken zaman adımı bu süre olmasına karşı doğru çözülmesi için bundan çok daha küçük bir değer girmek gerekir. Impulse adımında hata oluşumunu ve eksik veya fazla enerji hesaplanmasının önüne geçmek için bu adımı da 30 parçaya bölmek iyi bir değer olacaktır kabaca. Yani zaman adımı değerini 0.001s olarak almak yüksek ihtimalle doğru çözüme götürecektir denklemimizi. Bu aynı zamanda denklemi saniyede 1000 kere çözdürmek veya saniyenin 1000 de 1'i çözünürlüğünde çözdürmek demektir. Son olarak başlangıç şartlarında theta açısını 4,712388975 radyan ve başlangıç hızını 0 olarak girebiliriz.
Çözüm sonucunu matplotlib kütüphanesi ile grafikleştirip inceleyelim. Balans sisteminin salınımını x ekseninde zaman ve y ekseninde açısal konum olacak şekilde çizdirdiğimizde düzgün bir sinüs dalgası görmemiz gerekmekte. Ayrıca dalgaların tepe noktaları hedeflediğimiz 270 derece genlik etrafında salınıyorsa modelimizin doğruluğunu valide etmiş olmaktayız. Eğer zamana göre genliğin küçüldüğünü görecek olursak sürtünme parametreleri az, genliğin büyüdüğünü görecek olursak ise sürtünme parametreleri fazla hesaplanmış demektir. Bir diğer bakabileceğimiz nokta ise sinüs dalgasının tepe noktalarının denk geldiği zaman. Bu değer zaman göre olması gereken x konumundan çok sapıyorsa bu sefer balans çarkı ve balans yayına dair yaptığımız hesapların hatalı olduğunu söyleyebiliriz.
 |
| Şekil 5: Sistemin 3,1 saniyelik dinamik hareket sonucu. |
 |
| Şekil 6: Yay sabiti %10 daha düşük hesaplandığında ortaya çıkan salınım grafiği. |
Görüldüğü gibi bu grafikte genlik değeri değişmedi ancak frekans arttı. Saat mekanizması çok kısa sürede oldukça büyük bir değerde ileri zaman gösterecektir. Bir de yay sabiti yerine hava sürtünmesi enerjisini 3 kat daha büyük hesaplasaydık ne görmemiz gerekirdi onu inceleyelim;
 |
| Şekil 7: Hava sürtünmesi kaybı 3 kat daha yüksek varsayıldığında oluşan grafik |
Görüldüğü gibi burada da zaman tutma performansı iyiken balans çarkının genlik değeri sürekli küçülüyor. Bu tsarımda bir mekanizma da bir müddet sonra duracaktır. Son olarak da 60 saniye boyunca sistemin dinamik davranışı nasıl olmuş onu inceleyelim.
 |
| Şekil 8: 60 saniye boyunca sistem davranışının grafiği. |
Zamanı büyütüp grafiği incelediğimizde öncelikle genliğin 270 derece yerine başka bir değer etrafına oturmaya çalıştığını görüyoruz. Bunun nedenlerinde birisi enerji hesaplarımızda varsaydığımız bir kaç katsayının çok düzgün seçilememiş olması olabilir. Özellikle hava sürtünme kaybı hesabında kullandığımız katsayı, aralarında 2 kat fark olan iki değer arasında ortalamalarını seçtiğimiz bir katsayı. En az emin olunan katsayı ile oynayarak genliği dahada 270 derece etrafına çekmek mümkü. Bir başka neden ise sönümsüz doğal frekans hesabı yapmış olmamız olabilir. Sistemdeki aerodinamik etkileri enerji hesapları için kullandık ancak doğal frekans hesabımızı daha basit tuttuk. Parametre hesaplarında aslında sönümlü doğal frekansı hesaplayacak tüm verileri hesaplamıştık, kısa bir analiz için sönümlü doğal frekansı hesaplayacak olursak denklem 12 ile hesaplayabiiriz;
$$f_d=\left(\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{I}}\ \right)\sqrt{1-\zeta^2} \qquad (12)$$
Burada zeta (𝜁) sönüm oranıdır. Sönüm oranı, viskoz sönüm katsayısının (Denklem-8 de bulunan ‘𝑐’ katsayısı) kritik sönüm katsayına ($$c_c=2\sqrt{k\cdot I}$$) bölümüdür. Parantez içindeki ifade aslında sönümsüz doğal frekansa denktir. O zaman bu durumda zeta sabitini şu şekilde hesaplayabiliriz;
$$\zeta=\frac{\mathrm{1.5E-11}}{2\sqrt{\ 2.905E-7\cdot8.175E-10}}\ =\ 4.87E-4$$
Sönümsüz doğal frekansı da 3Hz olarak hesapladığımıza göre bu sönümlü doğal frekans aşağıdaki gibi olacaktır;
$$f_d=3\ \sqrt{1-{(4.87E-4)}^2}\ =\ 2,99999964$$
Yani görüldüğü gibi bu etki sistemimizde virgülden
sonra 7. Basamakta değişikliğe sebep olabiliyor. Milyonda 1 gibi bir etkisi olduğu
görünen parametrenin sistemimizdeki set-angle (270 derece) değerini kaydırma
oranı çok düşük kalacaktır ancak genel hareket denklemini çözdürme yöntemimize
bağlı olarak kümülatif hata birikimi ile bu etki bir miktar daha artıyor olabilir.
Tüm bunların dışında eğer maşa ve eşapman geometrisinin etkilerini de inceleyecek olsaydık bir nedeni daha araştırmamız gerekecekti. 1826 yılında George Biddell Airy’nin gösterdiği sarkaçlarda sisteme dışarıdan etkiyen kuvvet yalnızca sarkacın denge pozisyonundayken etkirse periyot sabit kalabilir ilkesi [6]. Literatüre Airy Teorisi olarak geçen bu ilkenin yaratacağı sapma aşağdaki denklem 13 ile hesaplanabilir.
$$\frac{\Delta T}{T} \approx -\frac{J \cdot \theta_1}{2\pi \cdot I \cdot \omega_0 \cdot \theta_0^2} \qquad (13)$$
Denklem 13’de Δ𝑇: Periyodun bir salınımdaki değişim miktarı, 𝑇: Serbest salınım periyodu, 𝐽: Impulse torkunun zamana göre integrali (açısal itme), 𝐼: Balans çarkının kütlesel atalet momenti, 𝜔0: Sistemin açısal doğal frekansı, θ₀: Maksimum salınım genliği, 𝜃1: osilatör sistemin denge noktası ile impulsun sürdüğü açının ağırlıklı ortalama noktası arasındaki açı.
Hesaplarımıza maşa ve eşapman geometrilerinin etkileri dahil olmadığı için sistemimizde 𝜃1 açısı 0 çıkmakta ve Airy etkisini gözlemlememekteyiz ancak eğer maşa ve eşapmana dair hesap yapılıp bu etkinin gözlenmesi istenirse çok basit bir şekilde uygulanan tork denklemini Gaussian eğriye oturtarak faz açısı farkını tasarıma göre verebilir ve Genel Hareket Dekleminin bu etkiyi dahil edilmiş haliyle çözülmesini sağlayabiliriz.
Bu etkilere rağmen sistemimizin genliği bu haliyle bile bir nokta etrafına oturmakta, sürekli artan veya azalan grafik göstermemekte. Bu da saat mekanizması tsarımı için başarılı bir sonucu gösterir.
Şekil 8’i incelemeye devam ettiğimizde ikinci olarak da osilasyon frekansının değiştiğini gözleyebiliyoruz, örneğin idealde 59'uncu saniyeye oturması gereken tepe noktası 59.006'ıncı saniyeye oturmuş. Hızlıca bir günlük sapma analizi yaptığımızda 24 saat sonra tepe noktalarının artık 8.7 saniye daha ileriye oturacağını yani saatin günlük 8.7 saniye geri kalacağını söyleyebiliriz.
Deneysel olarak katsayı çıkartma imkanımızın olmasıyla ve balans yayı gibi çok kıymetli parçalara alalede çelik malzeme katsayıları girmek yerine daha endüstri standardı malzemelerle çalışılınca, en azından 0 boyutlu bu modelin çok rahat bir şekilde kronometre seviyesinde zaman tutabilecek bir regülatör mekanizma tasarımı yapabileceğini göstermiş oluyor bu sonuçlar.
4.7 - Balans Yayı Kalınlığının Zaman Tutmaya Etkisi
Balans yayının yay sabiti değerini hesaplarken yay kalınlığını 0,00003m yani 30µm seçtiğimizin farkındasınızdır. Bu değerin yay sabitine etkisi değerin küpü şeklinde olduğundan dolayı, hesaplanan değerden 1µm bile daha farklı imal edilmesi durumunda saatin sapmasının çok artacağını tahmin edebiliyoruz. Yay kalınlığı değerin 1µm sapmasının, saatin zamandaki sapmasına etkisini bu bölümde inceleyeceğiz.
Yay sabiti denkleminden diğer tüm parametreleri çıkartıp sadece kalınlık parametresini bırakalım, aynı şekilde doğal frekans denkleminde de sadece yay sabiti ifadesini bıraktığımızda frekans ile yay kalınlığı arasındaki ilişki denklem 14 gibi olacaktır;
$$f \approx \sqrt{t^3} = t^{1.5} \qquad (14)$$
O zaman hatalı frekans ile ideal frekans arasındaki oran denklem 15 ile bulunabilecektir;
$$\frac{f_{hatali}}{f_{ideal}}=\left(\frac{t_{hatali}}{t_{ideal}}\right)^{1.5} \qquad (15)$$
Hatalı ve ideal yay kalınlığı değerlerini yerine yazıp çözelim;
$$\frac{f_{hatali}}{f_{ideal}}=\left(\frac{31}{30}\right)^{1.5}\approx\left(1.0333\right)^{1.5}\approx1.05083$$
Bu sonuç bize yay kalınlığı olması gerekenden 1µm fazla olan bir saatin %5.083 daha hızlı çalışacağını gösterir. Bir günde 86400 saniye olduğuna göre günlük sapma şu şekilde hesaplanacaktır;
$$\mathrm{\Delta T}=86400\times(1.05083-1)=4392\ saniye=73.2\ dakika$$
Görüldüğü gibi balans yayı (hairspring) denilen parçanın boyutlandırılma ve imalat hassasiyetinin, çok yüksek seviyelerde olma zorunluluğu ortaya çıkmaktadır. A. Lange & Söhne markasının balance spring sayfasında yay tipine göre değişmekle birlikte yay kalınlığında ki 1µm sapmanın günlük 30 dakika zaman sapmasına sebep olabileceğini belirtilmektedir. Bu bilgiden yola çıkarak yaklaşık olarak kullandıkları balans yaylarının 70µm civarında kalınlığa sahip olduğu anlaşılabilir. Yine aynı sayfada balans yayı için imalat toleranslarının 0.05µm olduğunu belirterek balans yayı ile alakalı tüm süreçlerin hassasiyetine dikkat çekilmektedir. [7]
5 - Gelecek Çalışma Önerileri ve Tartışma
Kurduğumuz 0-boyutlu bu model, bizce çalışabilirliğini göstermiş durumdadır. 0-boyutlu yeni model çalışmalarından ziyade gelecek çalışmalar için 1-Boyutlu ve 3-Boyutlu statik, dinamik ve kinematik model çalışmalarının yapılması daha faydalı olabilecektir. Özellikle CAD destekli ve Elastik Çoklu Cisim Dinamiği denklemleri çözebilen bir paket program yardımıyla bu modeli 3-Boyutlu olarak genişletme çalışması yapılabilir. Böyle bir çalışmaya biz MSC Adams paket programı aracılığıyla başlamış bulunmaktayız ama tüm Türkiye'de bu çalışmaya paralel yürüyebilecek veya bize destek olabilecek herkese çağrı yapmak istiyoruz.
 |
| Şekil 9: MSC Adams paket programında regülatör mekanizma modeli. |
Dinamik ve Kinematik çalışmaların içine termal değişim, şok darbesi, zamana bağlı yağ kuruması ve tribolojik etkiler gibi konuları da dahil ederek çok daha geniş kapsamlı modellere gidilebilir. Bunların dışında parçalar üzerine yapısal analiz, kırılma ve ömür hesapları yapılarak parçaların boyutlandırılması kinematik ve dinamik parametreler dışında ömre ve mukavemete bağlı parametrelere de bağlanarak sadece performanslı değil aynı zamanda uzun ömürlü bir mekanizma tasarımı ve modeli çıkartılabilir. Malzeme bilimi açısından özellikle korozyon oluşumu, galvanik seri oluşumu gibi konular açısından mekanizma parçaları incelenmelidir. Tüm bunlarla birlikte imal edilebilirlik ve servis verilebilirliğe yönelik geliştirme çalışmaları yapılabilir.
Saat mekanizmaları hakkındaki Türkçe bilimsel çalışmaların bu son aşamaya geleceğini düşünmek şu an bizler için hayal gibi kalmaktadır ancak bir adım atarak bu işe soyunabilecek insanları teşvik edebilir ve Türkçe literatürü bu konuda doyurabilirsek gelecekte olabilecek şeyleri hayal etmek bile az gelebilir. Türkiye'de bir saat mekanizmasının tasarlanabileceğine ve hatta imal edilebileceğine dair görüşlerimiz oldukça olumlu seviyededir. Ülkemizde çok yetenekli AR-GE mühendisleri ve fizikçiler bulunmakta, bu kişiler çok kompleks ve hakkında az çalışma olan bir çok konu için matematiksel modeller kuruyor, analizler ve tasarımlar gerçekleştiriyor. Biliyoruz ki bu kompleks tasarımlar yapılırken sürekli başka bir ekip onlara katsayı çıkartacak deneyler ve testlerle uğraşıyor. Saat mekanizması hakkında kurulabilecek test düzeneklerini tasarlamak ve deney yöntemlerini geliştirmekte ayrı bir gelecek çalışma konusu olarak açıkta duruyor. Tüm bunlarla birlikte son yıllarda ülkemizde özellikle savunma sanayii aracılığıyla mikromekanik alanındaki çalışmalar deneysel ve akademik olmaktan çıkıp teknolojiye dönüşmüş ve seri imalata başlamış bir konu olarak gelişiyor. Bazı parçalarının boyutlarını mikrometre cinsinden ölçebileceğiniz ve toleranslarını nanometre mertebesinde düşük sayılarla ifade edebileceğiniz saat mekanizmalarının, bu çalışmalardan edinilen know-how sayesinde ülkemizde imal edilebilirliğinin gelecek yıllarda mümkün olması bekleniyor.
Linkler
Tasarım Excel Dosyası: https://docs.google.com/spreadsheets/d/1oSVrgrvhbQXp0VBzs-eY2OYbII0CQyCC/edit?usp=sharing&ouid=114293323516253003424&rtpof=true&sd=true
Python Kodu: https://drive.google.com/file/d/1m3zIRxIANr_0W2r0WfUC_gUEeCCLW2Ys/view?usp=sharing
Referanslar
[1] NIST, «A Walk Through Time - A Revolution in Timekeeping,» 12 August 2009. [Çevrimiçi]. Available: https://www.nist.gov/pml/time-and-frequency-division/popular-links/walk-through-time/walk-through-time-revolution.
[2] T. Sasaya, Theory of Horolgy, Greenwich Meridian, 2017.
[3] İ. Cürgül, Makina Elemanları ve Çözümlü Problemleri Cilt-I, İstanbul: Birsen Yayınevi, 2008.
[4] S. Karabay, Mekanik Titreşimler Cilt-1, İstanbul: Birsen Yayınevi, 2011.
[5] İ. Cürgül, Makina Elemanları ve Çözümlü Problemleri Cilt-II, İstanbul: Birsen Yayınevi, 2015.
[6] G. B. Airy, «On the Disturbances of Pendulums and Balances and on the Theory of Escapements,» Transactions of the Cambridge Philosophical Society. 3 (Part 1), pp. 105-128, 1826.
[7] A. Lange & Söhne, «THE LANGE BALANCE SPRING,» A. Lange & Söhne, [Çevrimiçi]. Available: https://www.alange-soehne.com/eu-en/manufacture/art-of-watchmaking/lange-balance-spring. [Erişildi: 29 08 2026].
Reviewed by Okan Yıldız
on
Eylül 02, 2026
Rating:
Hiç yorum yok:
Yorumunuz alınmıştır. Teşekkürler.